7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь

^ 7. Базовая аксиома
Аксиома. Диаграмма Никомаха устанавливает взаимно однозначное соответствие меж обилием всех узлов дихотомического дерева и обилием всех упорядоченных пар взаимно обычных чисел.

Лемма. Каждому шагу диаграммы Никомаха ввысь по направлению к корню соответствует одно 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь простое вычитание наименьшего числа из большего в методе Евклида для поиска большей общей меры 2-ух чисел.

^ Подтверждение аксиомы. Поначалу покажем, что всякие два числа, стоящие в случайном узле диаграммы 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь Никомаха, являются взаимно ординарными. По правде, применяя к этим числам метод Евклида, мы будем поочередно подниматься ввысь по диаграмме прямо до корневого узла, в каком находится отношение 1 : 1. Выходит, что большей общей мерой чисел рассматриваемого узла 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь является единица, что и требовалось обосновать.

Покажем сейчас, что всякая упорядоченная пара взаимно обычных чисел стоит в одном и исключительно в одном узле диаграммы Никомаха. Вправду, для каждой упорядоченной числовой 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь пары метод Евклида даёт последовательность обоюдных вычитаний, которую можно обрисовать на языке перемещений по диаграмме Никомаха от рассматриваемого узла ввысь, к корню. Эта цепочка шагов на право и на лево, обращённая вспять от 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь корня, совершенно точно определяет положение данной числовой пары на диаграмме, что и требовалось обосновать.
^ 8. Геометрическое представление метода Никомаха для трёхчленных сопряжений
Чтоб осознать, почему Никомах и Теон рассматривают трёхчленные сопряжения, а менее обыкновенные 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь в воззвании двучленные числовые дела, вспомним о пифагорейской геометрической интерпретации трёхчленной геометрической прогрессии, известной по Тимею Платона:

Два члена сами по для себя не могут быть отлично связаны без 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь третьего, ибо нужно, чтоб посредине родилась некоторая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в большей степени единит себя и то, что связано, и эту задачку лучшим образом делает пропорция (31b8–c4).

Функцию 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь построения новых трёхчленных сопряжений мы изобразим графически (рис. 6), пользуясь приёмами «геометрической алгебры», изложенными во II книжке Начал Евклида.




Рис. 6

Представим начальное трёхчленное сопряжение в виде 2-ух квадратов a2 и b2, построенных 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь на сторонах «сопряга­ю­ще­го» прямоугольника ab. В новых сопряжениях наименьший член остаётся этим же квадратом a2 либо b2, а в качестве большего члена берётся квадрат (a + b)2; при всем этом 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь «сопрягающим» членом оказывается в первом случае прямоугольник a(a + b), во 2-м случае прямоугольник b(a + b).

Такие трёхчленные сопряжения могут быть помещены на схему «наращивания квадратов» (рис. 7). Тут каждый отдельный чертёж с 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь рис. 5 достроен до квадрата, и сейчас три члена сопряжения сущность (а) только что прибавленный малый квадрат, (b) возникший при всем этом прибавлении прямоугольник, (c) большой квадрат. И если на рис. 5 двучленное отношение 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь задавалось числами единичных отрезков, укладывавшихся по длине и ширине получавшихся прямоугольников, то сейчас трёхчленное сопряжение задаётся числами единичных квадратов, укладывающихся в надлежащие квадраты и прямоугольники.



Рис. 7
^ 9. «Десять средних» древней арифметики 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь
В интересах предстоящего изложения отступим на время от основной темы и коснёмся сведений о так именуемых «десяти средних», передаваемых рядом древних создателей.

Понятие о среднем — одно из главных в пифагорейской арифметике. Оно появляется в 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь различных науках — в музыке, в геометрии, в математике. Определения трёх средних даёт пифагореец Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) в трактате О музыке:

В музыке имеется три 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь средних: 1-ое — арифметическое, 2-ое — геометрическое, третье — обращённое, называемое также гармоническим. Арифметическое — когда три члена превосходят друг дружку по такому правилу: как 1-ый больше второго, так 2-ой боль­ше третьего. В этой пропорции 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь оказывается, что интервал меж большенными чле­нами меньше, а меж меньшими — больше. Гео­мет­ри­ческое — когда 1-ый от­но­сит­ся ко второму так же, как 2-ой к третьему. Причём выходит, что 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь интервал меж боль­ши­ми равен интервалу меж наименьшими. Обращённое, называемое гармоническим, — когда 1-ый член больше вто­рого на такую часть са­мо­го себя, на какую часть третьего члена средний боль­ше третьего 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь. В этой пропорции ин­тервал меж большенными членами больше, а меж мень­шими — меньше (DK 47 B2).

Никомах во ^ Внедрении в математику (II 22.1, 28.6) докладывает, что к трём средним, о которых учили «древние 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь», последователями Арис­то­те­ля и Платона позже были добавлены ещё три, а «новыми авторами» — ещё четыре. Представляется правдоподобным, что эти «новые авторы» — никак не современники Никомаха, а люди, жившие за 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь несколько веков до него; «новыми» же их мог именовать тот источник, которым Никомах воспользовался.

О четырёх «новых» средних, добавленных к уже 6 имевшимся, пишет также Папп в ^ Математическом собрании (III 18). Но списки «новых 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь» средних у Паппа и у Никомаха не совпадают. А конкретно, у каждого из их есть одно такое среднее, которого нет у другого. Причина этого несоответствия просто объяснима — в той логике построений, которой воспользовались и 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь Папп, и Никомах, «новых» средних должно быть 5, а не четыре (см. Heath 1921). Может быть, что оба создателя отставили одно из этих средних в сторону из-за того, что 10-ке в пифагорейском 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь миропонимании отводилась особенная роль самого совершенного числа; и поэтому средних бралось в общей совокупы 10, а не одиннадцать.

Построение всех средних описывается полностью единообразно. Пусть имеются три величины а > b > c > 0 и три 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь разности меж ними: а – b, b – c, a – с. В случае среднего арифметического верхняя и нижняя разности равны меж собой: а – b = b – c. При построении иных средних составляется пропорция из 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь четырёх членов, в какой отношение 2-ух величин равняется к отношению 2-ух разностей. При всем этом в паре разностей а – b и b – c большей может быть как верхняя, так и нижняя разность. Так появляется 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь таблица из 12 клеток. Но две пропорции первого столбца дают одно и то же геометрическое среднее. Ещё одна пропорция является вырожденной, так как она сводится к уравнению aс = bс, и тем 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь a = b либо с = 0. Так что в реальности по этой схеме составляются не двенадцать, а 10 средних, в дополнение к среднему арифметическому.




Геометрическое


Шестое среднее


Восьмое (П)


Тут a = b либо c = 0


5-ое

среднее


Десятое 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь (Н), седьмое (П)


Девятое (Н), десятое (П)


Гармоническое


Четвёртое среднее


Восьмое (Н), девятое (П)


Седьмое (Н)

Таблица 1

Средние в этой таблице названы так, как их называли Никомах и Папп. То среднее, которое Никомах именует 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь десятым, а Папп — седьмым, можно именовать «полувырожденным», так как определяющее его уравнение сводится к виду a = b + c. (Если б мне необходимо было составить перечень из 10 средних, включая среднее арифметическое, я бы не 7. Фундаментальная теорема - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь стал включать в этот перечень конкретно это среднее.)


66ponyatie-kulturi-i-civilizacii-v-filosofii-nazvanie-filosofiya-shpargalka-shpargalka-razreznaya.html
66spravka-o-67perechne-i-godovih-obemah-vipolneniya-analogichnih-dogovorov-forma-6.html
67-chelovek-professiya-po-tipu-associacij-pryazhnikov-n-s-p77-metodi-aktivizacii-professionalnogo-i-lichnostnogo.html